题目内容
5．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD=2CD，点E在AD边上．（1）如图1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC的面积；
（2）如图2，延长BA至点F使得AF=2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH=$\sqrt{2}$AH+DH；
（3）如图3，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°）得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN，已知CD=AE=4，直接写出DN的取值范围．
分析 （1）根据30°的直角三角形求CD和ED，再利用面积公式求△AEC的面积；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△AFM≌△ADH，得AM=AH，FM=DH，则△MAH是等腰直角三角形，有MH=$\sqrt{2}$AH，根据线段的和代入得结论；
（3）取AC的中点O，连接ON、OD，在△DON中，根据三角形三边关系即可出DN的取值范围．
解答 解：（1）如图1，在Rt△EDC中，∵∠EDC=30°，
∴ED=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$×4=2，cos30°=$\frac{DC}{EC}$，
∴DC=EC•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AE=2DC-ED=4$\sqrt{3}$-2，
∴S△AEC=$\frac{1}{2}$×AE×DC=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-2）×2$\sqrt{3}$=12-2$\sqrt{3}$；
（2）如图2，过A作AM⊥AH，交FG于M，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°，
又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°，
∴∠FAM=∠DAH，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠FGD
∵DH⊥EG，
∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°，
∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°，
∴∠FGD=∠EDH，
∴∠F=∠EDH，
又∵AF=2CD，AD=2CD，
∴AF=AD，
∴△AFM≌△ADH，
∴AM=AH，FM=DH，
∴△MAH是等腰直角三角形，
∴MH=$\sqrt{2}$AH，
∵FH=MH+FM，
∴FH=$\sqrt{2}$AH+DH；
（3）如图3所示，取AC的中点O，连接ON、OD，
∵AE=CD=4，
∴AD=2CD=8，
∴AC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴OD=2$\sqrt{5}$，
在△DON中，
OD-ON＜DN＜OD+ON
∵ON=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴2$\sqrt{5}$-2＜DN＜2$\sqrt{5}$+2
①当点N在线段DO上时，如图4，线段DN取最小值，
∴ON=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴DNmin=OD-ON=2$\sqrt{5}$-2；
②当N在线段DO的延长线上时，如图5，线段DN取最大值，
∴DNmax=OD+ON=2$\sqrt{5}$+2；
∵0°＜α＜360°
∴2$\sqrt{5}$-2≤DN≤2$\sqrt{5}$+2．
点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、全等三角形、和直角三角形中30°角的性质；考查了等腰直角三角形直角边和斜边的关系；在计算线段取值范围时，可以分别求该线段的最大值和最小值，然后写出取值范围．
如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？| A． | 了解某批灯泡的使用寿命情况 | B． | 了解全班同学每周体育锻炼的时间 | ||
| C． | 企业招聘，对应聘人员的面试 | D． | 对旅客上飞机的安检 |
| A． | -1 | B． | 1 | C． | 0.25 | D． | 44026 |
如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，若∠1=25°，∠2=70°，则∠B=（ ）| A． | 65° | B． | 55° | C． | 45° | D． | 35° |
如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则∠AOF等于（ ）| A． | 130° | B． | 120° | C． | 110° | D． | 100° |
| A． | x=0 | B． | x=-1 | C． | x=1 | D． | x=2 |