Question

13．如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y=-ax²+2x+3a（a≠0）与x轴的另一个交点为A点．
（1）求a的值．
（2）点E从点C出发．以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿CB方向向点B运动，过点E作x轴的垂线，垂足为点P，垂线与抛物线相交于点F，设运动的时间为t秒，EF的长为l，请求出l关于t的关系式．
（3）在（2）的条件下，当点E出发的同时．点D从点O出发．以每秒1个单位的速度沿y轴向上运动，此时点D的坐标为（0，t），当点E到达点B时，E、D均停止运动．连接DF、OE，若四边形ODFE为平行四边形．
①求t的值；
②抛物线上是否存在点M．使直线AM平分四边形ODFE的周长，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，由题意点E（t，3-t），F（t，-t²+2t+3）．根据l=F_y-E_y即可解决问题．
（3）①如图2中，当OD=EF时，四边形EFDO是平行四边形，列出方程即可解决问题．
②如图3中，连接OF、DE交于点G，因为四边形EFDO是平行四边形，所以根据对称性直线AG平分四边形的周长，求出直线AG与抛物线的交点即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3），
把（0，3）代入y=-ax²+2x+3a得到a=1，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∴a=1，

（2）如图1中，由题意点E（t，3-t），F（t，-t²+2t+3）．

∴l=-t²+2t+3-（3-t）=-t²+3t，（0≤t≤3）．

（3）①如图2中，

∵OD∥EF，
∴当OD=EF时，四边形EFDO是平行四边形，
∴t=-t²+3t，
解得t=2或0（舍弃）．
∴t=2时，四边形EFDO是平行四边形．

②如图3中，连接OF、DE交于点G，

∵四边形EFDO是平行四边形，
∴根据对称性直线AG平分四边形的周长，
∵t=2，
∴F（2，3），∵OG=GF，
∴点G坐标（1，$\frac{3}{2}$），
设直线AG的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=\frac{39}{16}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{39}{16}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，所以中考压轴题．