Question

14．如图1，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．已知点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）用含t的代数式表示：QB=8-2t，PD=$\frac{4}{3}$t；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变匀速运动的点Q的速度，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，请求出点Q的速度；
（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，则可求得QB与PD的值；
（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；
（3）设E是AC的中点，连接ME．当t=4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答 解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8-2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴PD=$\frac{4}{3}$t．
故答案为：（1）8-2t，$\frac{4}{3}$t．

（2）不存在
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即$\frac{AD}{10}$=$\frac{t}{6}$，
∴AD=$\frac{5}{3}$t，
∴BD=AB-AD=10-$\frac{5}{3}$t，
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8-2t=$\frac{4t}{3}$，解得：t=$\frac{12}{5}$．
当t=$\frac{12}{5}$时，PD=$\frac{4}{3}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$，BD=10-$\frac{5}{3}$×$\frac{12}{5}$=6，
∴DP≠BD，
∴?PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即$\frac{4}{3}$t=10-$\frac{5}{3}$t，解得：t=$\frac{10}{3}$，
当PD=BQ，t=$\frac{10}{3}$时，即$\frac{4}{3}$×$\frac{10}{3}$=8-$\frac{10}{3}$v，解得：v=$\frac{16}{15}$；
当点Q的速度为每秒$\frac{16}{15}$个单位长度时，经过$\frac{10}{3}$秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M₁的坐标为（3，0），当t=4时点M₂的坐标为（1，4）．
设直线M₁M₂的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线M₁M₂的解析式为y=-2x+6．
∵点Q（0，2t），P（6-t，0）
∴在运动过程中，线段PQ中点M₃的坐标（$\frac{6-t}{2}$，t）．
把x=$\frac{6-t}{2}$代入y=-2x+6得y=-2×$\frac{6-t}{2}$+6=t，
∴点M₃在直线M₁M₂上．
过点M₂作M₂N⊥x轴于点N，则M₂N=4，M₁N=2．
∴M₁M₂=2$\sqrt{5}$，
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2$\sqrt{5}$单位长度．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．