Question

11．如图，在Rt△ABC中，BC=a，AB=c，CD为斜边上的高，DE⊥AC．设△AED、△CDB、△ABC的周长分别为p₁，p₂，p，则当$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$取最大值时，sinA=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 易证Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC，令BC=a，AB=c，即可求得$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$=$\frac{AD}{AB}$+$\frac{BC}{AB}$=-（$\frac{a}{c}$）²+$\frac{a}{c}$+1，根据二次函数的极值即可求得，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$时∠A的度数，进而可求出sinA的值．

解答 解：∵CD⊥AB，DE⊥AC
Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC．
令BC=a，AB=c，则DB=$\frac{{a}^{2}}{c}$，AD=c-$\frac{{a}^{2}}{c}$．
于是得$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$=$\frac{AD}{AB}$+$\frac{BC}{AB}$=-（$\frac{a}{c}$）²+$\frac{a}{c}$+1，
由二次函数性质知，当$\frac{a}{c}$=-$\frac{1}{2×（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$取最大值时，
此时∠A=30°．所以sinA=$\frac{1}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求一元二次方程的最大值时x的取值是解题的关键．