Question

20．如图，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点D、E在∠BAC的外部，连结DC，BE．
（1）求证：BE=CD；
（2）若将△AED绕点A旋转，直线CD交直线AB于点G，交直线BE于点K．
①如果AC=8，GA=2，求GC•KG的值；
②当△BED为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BD的值．

Answer 1

分析 （1）根据∠BAC=∠EAD=90°，得出∠CAD=∠BAE，在△BAE和△CAD中，根据SAS得出△BAE≌△CAD，即可证出BE=CD；
（2）①当点G在线段AB上时，根据（1）和AA得出△CGA∽△BGK，求出AG•GB=GC•KG，再根据AC=8，GA=2，得出GC•KG=12；当点G在线段AB延长线上时，再根据已知条件求出△CGA∽△BGK，得出AG•GB=GC•KG，再根据AC=8，GA=2，得出GC•KG=20；
②根据△BED为等腰直角三角形时，∠ADB=45°，得出AB：BD=tan45°，再计算即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠EAD=90°
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
∴∠CAD=∠BAE，
在△BAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD；

（2）①当点G在线段AB上时（如图1）
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠CGA=∠BGK，
∴△CGA∽△BGK，
∴$\frac{AG}{KG}$=$\frac{GC}{GB}$，
∴AG•GB=GC•KG，
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=6．
∴GC•KG=12，
当点G在线段AB延长线上时（如图2）
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠BGK=∠CGA，
∴△CGA∽△BGK，
∴$\frac{AG}{KG}$=$\frac{GC}{GB}$，
∴AG•GB=GC•KG；
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=10
∴GC•KG=20；
②如图3，
当△BED为等腰直角三角形时，
则∠ADB=45°，
AB：BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了相似形的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．