题目内容
18．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：∠1=90°+∠2+α．（不需说明理由）．
分析 （1）如图1中，连接PC．由∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2=（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），由∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，即可推出∠1+∠2=140°．
（2）结论：∠1+∠2=90°+α．证明方法类似（1）．
（3）由∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，由∠C=90°，即可推出∠1=90°+∠2+α．
解答 解：（1）如图1中，连接PC．
∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，
∴∠1+∠2=140°．
（2）结论：∠1+∠2=90°+α．
理由如图2中，连接PC．
∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α
∴∠1+∠2=90°+α．
（3）如图3中，
∵∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，
∵∠C=90°，
∴∠1=90°+∠2+α．
故答案为∠1=90°+∠2+α．
点评 本题考查三角形综合题、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是灵活运用三角形的外角的性质，属于中考常考题型．
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