Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）若AC=2，求四边形DECF面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，再证明BD=CD，∠DCF=∠A，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，继而可得出结论．
（2）根据全等可得S_△AED=S_△CFD，进而得到S_{四边形CEDF}=S_△ADC，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．

解答：证明：（1）如图，连接CD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∴∠DCF=45°，
在△ADE和△CFD中，

AE=CF ∠A=∠FCD AD=CD

，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF．

（2）∵△ADE≌△CFD，
∴S_△AED=S_△CFD，
∴S_{四边形CEDF}=S_△ADC，
∵D是AB的中点，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ACB=

1

2

×2×2=2．
∴S_{四边形CEDF}=1．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．