Question

12．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，$\frac{25}{4}$）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为$\frac{5\sqrt{2}π}{4}$．

Answer 1

分析 H经过的路径是以OE为直径的弧，连接OE，首先求得△OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用长公式即可求解．

解答 解：连接OE．
S_△OPE=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×7=$\frac{175}{8}$，
在直角△OEA中，OE=$\sqrt{O{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$，
PE=$\sqrt{（\frac{25}{4}-1）^{2}+{7}^{2}}$=$\frac{35}{4}$，
∵S_△OPE=$\frac{1}{2}$PE•OH，即$\frac{1}{2}$×$\frac{35}{4}$OH=$\frac{175}{8}$，
∴OH=5，
∴在直角△OEH中，sin∠OEH=$\frac{OH}{OE}$=$\frac{5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OEH=45°，
点H的运动路径长是：$\frac{2×45π×\frac{5\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{5\sqrt{2}π}{4}$．
故答案是：$\frac{5\sqrt{2}π}{4}$．

点评 本题考查了点的运动轨迹以及弧长公式，理解H运动的路径，求得对应的圆心角是关键．