Question

14．如图，AO是∠BAC的平分线，P、Q分别是AC、AB边上的点，若∠OQB+∠OPC=180°，此时OP与OQ会相等吗？若相等请证明，不相等请说明理由．

Answer 1

分析 可得OP=OQ．分别作OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．证明△OMQ≌△ONP即可．

解答 解：OP=OQ．
理由如下：
分别作OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．
∵AO是∠BAC的平分线，
∴OM=ON，
∵∠OQB+∠OPC=180°，∠OQB+∠AQO=180°，
∴∠OPC=∠AQO，
在△OMQ和△ONP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMQ=∠ONP=90°}\\{∠OPC=∠AQO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMQ≌△ONP，
∴OP=OQ．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，作OM⊥AB，ON⊥AC构造全等三角形是解决问题的关键．