Question

9．已知抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，过O作直线交抛物线于M，N两点，是否存在这样的一条直线MN，使得△CMN的内心在y轴上？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设直线MN：y=kx，则假设M（m，km），N（n，kn），因为点M、N在抛物线上，则M（m，-m²+2m+3），N（n，-n²+2n+3），所以km=-m²+2m+3，kn=-n²+2n+3，所以m、n是方程：x²+（k-2）x-3=0的两根，得到m+n=2-k，mn=-3，再根据直线CM，直线CN两直线与y轴夹角相等，两直线斜率互为相反数，即和为0，
得到$\frac{3-km}{m}$+$\frac{3-kn}{n}$=0，代入化简解方程即可解决问题．

解答 解：存在．
理由：由题意点C（0，3），设直线MN：y=kx，则假设M（m，km），N（n，kn）；
∵点M、N在抛物线上，则M（m，-m²+2m+3），N（n，-n²+2n+3），
∴km=-m²+2m+3，kn=-n²+2n+3，
显然m、n是方程：x²+（k-2）x-3=0的两根，
则m+n=2-k，mn=-3，
∵△CMN的内心在y轴上，
∴直线CM，直线CN两直线与y轴夹角相等，两直线斜率互为相反数，即和为0，
∴$\frac{3-km}{m}$+$\frac{3-kn}{n}$=0，
∴3（m+n）-2kmn=0，
∴6-3k+6k=0，
∴k=-2，
∴直线MN：y=-2x．

点评 本题考查三角形内心、二次函数、一次函数等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于中考压轴题．