Question

6．已知：抛物线y=ax ²+4ax+4a （a＞0）

（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线经过点A（m，y₁），B（n，y₂），其中-4＜m≤-3，0＜n≤1，则y₁＜y₂（用“＜”或“＞”填空）；
（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（-3，4），F（-3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由抛物线的对称性可知当开口向上时，离对称轴越近其函数值则越小，则可求得答案；
（3）由于抛物线的顶点确定，且开口向上，所以当抛物线开口越大时a的值越小，当抛物线开口越小时a的值越大，可知当抛物线过C时a有最小值，当抛物线过F时a有最大值，则可求得a的取值范围．

解答 解：
（1）∵y=a （ x ²+4x+4 ）=a （ x+2 ） ²，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，0）；
（2）∵a＞0，且对称轴为直线x=-2，
∴当函数图象上的点离对称轴越近时其函数值越小，
∵-4＜m≤-3，0＜n≤1，
∴A点离对称轴x=-2近，
∴y ₁＜y ₂，
故答案为：＜；
（3）∵y=a （ x+2 ） ²开口向上，且顶点为（-2，0），
∴当开口越大时a的值越小，当开口越小时a的值越大，
∴当抛物线过点C时a有最小值，当抛物线过点F时a有最大值
代入点C（1，2），得a=$\frac{2}{9}$，
代入点F（-3，2），得a=2，
∴$\frac{2}{9}$＜a＜2．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、二次函数的开口大小、二次函数的比较大小及数形结合思想等知识．在（1）中把二次函数解析式化为顶点式是解题的关键，在（2）中掌握抛物线上的点离对称轴的距离的远近与函数值的大小关系是解题的关键，在（3）中掌握抛物线的开口大小与二次项系数的关系是解题的关键．本题考查知识点不多，但综合性很强，难度适中．