Question

3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点F，E是对角线CA延长线上的一点，且FC²=FA•FE，求证：BE∥CD．

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定，由AD∥BC可判断△FAD∽△FCB，则根据相似三角形的性质得$\frac{FA}{FC}$=$\frac{FD}{FB}$，再根据比例的性质，由FC²=FA•FE得到$\frac{FA}{FC}$=$\frac{FC}{FE}$，所以$\frac{FD}{FB}$=$\frac{FC}{FE}$，加上∠DFC=∠BFE，则根据相似三角形的判定可得△FDC∽△FBC，则∠FCD=∠E，然后根据平行线的判定方法得BE∥CD．

解答 证明：∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FCB，
∴$\frac{FA}{FC}$=$\frac{FD}{FB}$，
∵FC²=FA•FE，
∴$\frac{FA}{FC}$=$\frac{FC}{FE}$，
∴$\frac{FD}{FB}$=$\frac{FC}{FE}$，
而∠DFC=∠BFE，
∴△FDC∽△FBC，
∴∠FCD=∠E，
∴BE∥CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，注意对应角相等．也考查了梯形的性质．