题目内容

18．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果6是方程M的一个根，那么$\frac{1}{6}$是方程N的一个根
C．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=-1
D．如果方程M有两根符号相异，那么方程N的两根符号也相异

分析 根据判别式的意义可对A进行判断；根据方程根的定义对B进行判断；把两方程相减得的（a-c）x2=a-c，解得x=±1，则可对C进行判断；根据根与系数的关系可对D进行判断．

解答 解：A、方程M有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，所以A选项的结论正确；
B、因为6是方程M的一个根，则36a+6b+c=0，即$\frac{1}{36}$c+$\frac{1}{6}$b+a=0，所以$\frac{1}{6}$是方程N的一个根，所以B选项的结论正确；
C、因为方程M和方程N有一个相同的根，则（a-c）x2=a-c，解得x=±1，所以C选项的结论错误；
D、方程M有两根符号相异，则$\frac{c}{a}$＜0，所以$\frac{a}{c}$＜0，所以方程N的两根符号也相异，所以D选项的结论正确．
故选C．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

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