Question

已知二次函数y=-x²-（m-1）x+m．
（1）证明：无论m为何值，此二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）当此函数的图象经过原点时，确定它的解析式；并求出当y≥0时，自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据一元二次方程-x²-（m-1）x+m=0的根的判别式的符号进行证明；
（2）把点（0，0）代入函数解析式求得m的值；利用二次函数的性质求出当y≥0时，自变量x的取值范围．

解答：（1）证明：令y=0，则-x²-（m-1）x+m=0．
∵△=[-（m-1）]²-4×（-1）m=（m+1）²，
∴无论m取何值，（m+1）²≥0，
∴无论m为何值，此二次函数的图象与x轴总有交点；

（2）解：把点（0，0）代入y=-x²-（m-1）x+m，得
m=0，
则该二次函数的解析式为y=-x²+x=-x（x-1），
所以，该抛物线与x轴的交点坐标是（0，0），（0，1）．
如图所示，当当y≥0时，自变量x的取值范围是0≤x≤1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．