Question

14．元旦假期，小明一家游览我市仓圣公园，公园内有一假山，假山上有条石阶小路，其中有两段台阶的高度如下图所示（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）．请你运用你所学习的统计知识，解决以下问题：

（1）把每一级台阶的高度作为数据，请从统计知识方面（平均数、中位数）说一下有哪些相同点和不同点？
（2）甲、乙两段台阶哪段上行走会比较舒服？你能用所学知识说明吗？
（3）为方便行走，公园决定修整这两段台阶，在不改变台阶数量的前提下，应该怎样修改会比较好（在下图上填一下）？并说明一下你的方案的设计思路？

Answer 1

分析 （1）利用平均数计算公式、中位数解答即可；
（2）先求出方差，根据方差的大小再确定哪段台阶路走起来更舒服；
（3）要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小．

解答 解：（1）将甲、乙两台阶高度值从小到大排列如下，
甲：10，12，15，17，18，18；乙：14，14，15，15，16，16；
甲的中位数是：（15+17）÷2=16，平均数是：$\frac{1}{6}$（10+12+15+17+18+18）=15；
乙的中位数是：（15+15）÷2=15，平均数是：$\frac{1}{6}$（14+14+15+15+16+16）=15；
故两台阶高度的平均数相同，中位数不同；
（2）${S}_{甲}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（10-15）²+（12-15）²+（15-15）²+（17-15）²+（18-15）²+（18-15）²]=$\frac{28}{3}$，
${S}_{乙}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（14-15）²+（14-15）²+（15-15）²+（15-15）²+（16-15）²+（16-15）²]=$\frac{2}{3}$，
∵乙台阶的方差比甲台阶方差小，
∴乙台阶上行走会比较舒服；
（3）修改如下：

为使游客在两段台阶上行比较舒服，需使方差尽可能小，最理想应为0，同时不能改变台阶数量和台阶总体高度，
故可使每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0．

点评 此题主要考查了方差在实际生活中的应用，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．