Question

15．平面上有三点M、A、B，若MA=MB，则称点A、B为点M的等距点．

问题探究：（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q为点A的等距点；
（2）如图②，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上一动点，在边CD上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B为点M的等距点的定义，截取即可；
（2）证明△APO≌△CQO，根据全等三角形的性质解答；
（3）连接PB、PD，作PM⊥CD于M，在CM上截取MQ=MD，根据题意列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图①，以A为圆心，AP为半径作圆，交AC于点Q，
则点Q即为所求；
（2）延长PO与BC交于点Q，则OP=OQ，
在△APO和△CQO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAP=∠OCQ}\\{OA=OC}\\{∠AOP=∠COQ}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△CQO，
∴OP=OQ，
作OM⊥BC，截取MQ′=MQ，
连接OQ′，则OQ′=OQ=OP，
∴P、Q、Q′都为点O的等距离点；
（3）连接PB、PD，作PM⊥CD于M，在CM上截取MQ=MD，
则PB=PD，PD=PQ，
设DM=MQ=x，
由题意得，1-$\frac{1}{2}$×（1-x）×x-x²-$\frac{1}{2}$×（1-x）×x-$\frac{1}{2}$×（1-x）×2x=$\frac{1}{2}$，
整理得，x²-2x+$\frac{1}{2}$=0，
解得，x₁=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，x₂=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$（舍去），
则DM=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∴CQ=1-2DM=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查的是正方形的性质、点A、B为点M的等距点的定义、全等三角形的判定和性质，正确理解点A、B为点M的等距点的定义、掌握正方形的性质是解题的关键．