Question

7．如图，在平面直角坐标系中，OB=OA=6，OC=12，点P从A出发运动到C点，将BP绕P顺时针旋转90°得到点Q，求在整个运动的过程中，Q点滑过的长度为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图连接PB、BQ、PQ，作QH⊥x轴于H，首先证明∠QAH=45°，设点P与A重合时，点Q在Q′处，点P与C重合时，点Q在Q″处，推出点Q的运动轨迹是线段Q′Q″．

解答 解：如图连接PB、BQ、PQ，作QH⊥x轴于H．

∵PB=PQ，∠BPQ=90°，
∴∠BPO+∠OBP=90°，∠OPB+∠QPH=90°，
∴∠OBP=∠HPQ，∵∠POB=∠QHP=90°，
∴△OPB≌△HQP，
∴OB=PB=OA=6，OP=QH，
∵OP=6+OP，AH=AP+6，
∴OP=AH=QH，
∴∠QAH=45°，
设点P与A重合时，点Q在Q′处，点P与C重合时，点Q在Q″处．
∴点Q的运动轨迹是线段Q′Q″．
当点P与C重合时，P′B=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，AH′=H′Q′′=12，
∴AQ″=$\sqrt{2}$QH=12$\sqrt{2}$，∵AQ′=AB=6$\sqrt{2}$，
∴Q′Q″=12$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
故答案为6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．