Question

8．如图：BF是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，CD是高，BF与CD交于点E，EG∥AC交AB于G．求证：FG⊥AB．

Answer 1

分析 延长GE交BC于点K，连接CG交BF于点O；证明Rt△EKB≌Rt△EDB，得出DB=BK，再证明△CBD≌△GBK，得出BC=BG，BF垂直平分CG，得出CO=GO，然后证明△COF≌△EOG，得出FC=EG，证出四边形FCGE为平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：延长GE交BC于点K，连接CG交BF于点O，如图所示：
∵EG∥AC，∠ACB=90°，
∴∠BKG=∠ACB=90°，即GK⊥BC．
又∵CD⊥AB，BF平分∠ABC，
∴EK=ED．
在Rt△EKB与Rt△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EK=ED}\\{EB=EB}\end{array}\right.$，
∴Rt△EKB≌Rt△EDB（HL），
∴DB=BK．
在△CBD与△GBK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠GBK}\\{DB=BK}\\{∠CDB=∠GKB}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△GBK（ASA），
∴BC=BG，
∴BF垂直平分CG（三合一）．
∴CO=GO，
在△COF与△EOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OGE}\\{CO=GO}\\{∠FOC=∠GOE}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△EOG（ASA），
∴FC=EG，
∵EG∥FC，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∴FG∥CD，
∴FG⊥AB．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．