Question

在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：
（1）当

AE

AC

=

1

2

=

1

1+1

时，有

AO

AD

=

2

3

=

2

2+1

；
（2）当

AE

AC

=

1

3

=

1

1+2

时，有

AO

AD

=

2

4

=

2

2+2

；
（3）当

AE

AC

=

1

4

=

1

1+3

时，有

AO

AD

=

2

5

=

2

2+3

；
①当

AE

AC

=

1

n+1

时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；
②若

AE

AC

=

1

8

，且AD=18，求AO．

Answer 1

分析：①过D作DF∥BE，即求AE：AD，因为当

AE

AC

=

1

n+1

时，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出．
②利用①中方法得出AE：（AE+2EF）=1：8，进而得出AE：EF=2：7，以及

AO

AD

=

AE

AF

=

2

9

得出答案即可．

解答：解：①过D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D为BC边的中点，
∴CF=EF=0.5EC．
∵

AE

AC

=

1

n+1

，
∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．
∴AE：EF=2：n．
∴AE：AF=2：（n+2）．
∴

AO

AD

=

2

2+n

；

②过D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D为BC边的中点，
∴CF=EF=0.5EC．
∵

AE

AC

=

1

8

，
∴AE：（AE+2EF）=1：8，
∴AE：EF=2：7，
∴

AO

AD

=

AE

AF

=

2

9

，
∵AD=18，
∴AO=4．

点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理性质，根据已知熟练将比例是变形得出是解题关键．