Question

10．对于自然数n，下列结论是否正确？
（1）当n为正整数时，（n+1）²-（n-1）²的值一定是4的倍数；
（2）当n为质数时，2ⁿ-1的值一定为质数．

Answer 1

分析 （1）原式利用平方差公式分解因式，变形得到结果，即可作出判断；
（2）直接利用特殊值法求出反例进而得出答案．

解答 解：（1）原式=[（n+1）+（n-1）][（n+1）-（n-1）]=4n，
则结果一定为4的倍数，故当n为正整数时，（n+1）²-（n-1）²的值一定是4的倍数正确；

（2）当n为质数时，取n=11，
则2ⁿ-1=2047=23×89，
故当n为质数时，2ⁿ-1的值不一定为质数，故错误．

点评 此题考查了因式分解的应用以及质数的定义，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．