Question

15．如图，平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{4}{3}x+4$与y轴，x轴分别交于点A，点B，动点P从点A出发沿射线AB运动，以点P为圆心，PA长为半径的⊙P与y轴的另一个交点为D，PD延长线交x轴于点E．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）当AP=2时，求OE的长；
（3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，点P在运动的过程中，能否使点D、O、I、P构成一个平行四边形？若能，请求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对直线解析式y=-$\frac{4}{3}x+4$可设y=0，则可求出x的值，进而求出B点的坐标，设x=0，则可求出y的值，进而可求出A的坐标；
（2）过点P作PF⊥y轴于点F，易证△APF∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出PF的长，再利用勾股定理可求出DF的长，进而可得DC的长，再证明△PFD∽△EOC，由相似三角形的性质即可求出OE的长；
（3）根据点P在线段AB上，点E在线段BO延长线上；点P在线段AB上，点E在线段BO上；点P在线段AB的延长线上三种情况进行分类讨论．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{4}{3}x+4$+4，
∴当y=0，则-$\frac{4}{3}$x+4=0，
解得：x=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设x=0，则y=4，
∴点A的坐标为（0，4）；
（2）过点P作PF⊥y轴于点F，
∵OB=3，OA=4，
∴AB=5，
∵AO⊥BO，
∴△APF∽△ABO，
∴AP：AB=PE：BO，
∴2：5=PF：3，
∴PF=1.2，
∵PD=PA=2，
∴DF=$\sqrt{P{D}^{2}-P{F}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
∵AF=FD，
∴OD=4-$\frac{8}{5}$×2=$\frac{4}{5}$，
∵△PFD∽△EOC，
∴PF：OE=DF：OD，
即1.2：OE=$\frac{8}{5}$：$\frac{4}{5}$，
∴OE=$\frac{3}{5}$；
（3）如果点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上时（如图2），
∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABO∽△DEO，
∴$\frac{AO}{DO}=\frac{AB}{DE}$，
∴$\frac{4}{DO}=\frac{5}{5-2x}$，
DO=$\frac{4}{5}$（2x-5），当DO=PI时，点D、O、I、P构成一个平行四边形，由Do=PI得，$\frac{4}{5}$（2x-5）=x，x=$\frac{20}{13}$．
如果点P在线段AB上，点E在线段BO上时（如图3），DO=$\frac{4}{5}$（2x-5），当Do=PI时，点D、O、I、P构成一个平行四边形，由DO=PI得，$\frac{4}{5}$（2x-5）=x，x=$\frac{20}{3}$，
∵$\frac{20}{3}$＞5，与点P在线段AB上矛盾，
∴x=$\frac{20}{3}$（舍去）． 
如果（如图4），点E在线段BC的延长线上时，DO=$\frac{4}{5}$（2x-5），当DO=PI时，点D、O、I、P构成一个平行四边形，由DO=PI得，$\frac{4}{5}$（2x-5）=x，x=$\frac{20}{3}$．
综上，AP=$\frac{20}{13}$或AP=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、垂径定理的运用、勾股定理的运用、直线和坐标轴交点的问题、平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理等知识，难度适中，解题的关键是利用分类讨论的数学思想，防止题目的漏解．