Question

11．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；
（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；
（3）根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解，即可求的结论．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
∴BC＜AB，
∴P到C时，P、Q同时停止运动，
∴t=$\frac{5}{1}=5$（秒），
即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动．

（2）由题意知，AQ=BP=t，
∴QB=8-t，
作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，
∴$\frac{PF}{CE}=\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PF}{4}=\frac{t}{5}$，
∴PF=$\frac{4t}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$QB•PF=$\frac{1}{2}$×$\frac{4t}{5}$（8-t）=$-\frac{2}{5}{t}^{2}+\frac{16t}{5}$=-$\frac{2}{5}$（t-4）²+$\frac{32}{5}$（0＜t≤5），
∵-$\frac{2}{5}$＜0，
∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是$\frac{32}{5}$；

（3）∵cos∠B=$\frac{3}{5}$，
①当PQ=PB时（如图2所示），则BG=$\frac{1}{2}$BQ，$\frac{BG}{PB}$=$\frac{\frac{1}{2}（8-t）}{t}$=$\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{40}{11}$s，
②当PQ=BQ时（如图3所示），则BG=$\frac{1}{2}$PB，$\frac{BG}{BQ}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{8-t}$=$\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{48}{11}$s，
③当BP=BQ时（如图4所示），则8-t=t，
解得：t=4．
综上所述：当t=$\frac{40}{11}$s，$\frac{48}{11}$s或t=4s时，△PQB为等腰三角形．

点评 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．