Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程x²-4=0的解，点C的纵坐标恰好是方程x²-4x+4=0的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点．
1）求直线BC的解析式；
2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？
3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据方程的解分别求出B（2，0），A（-2，0），C（0，2），再设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．为此，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，根据等腰直角三角形及角平分线的性质，利用SAS证明△PCD≌△BOD，则DP=DB，∠PDC=∠BDO，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；
（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠ABQ=60°+∠APQ+∠PAS=180°得出答案．

解答：解：（1）∵点A、B的横坐标恰好是方程x²-4=0的解，
∴B（2，0），A（-2，0）．
∵点C的纵坐标恰好是方程x²-4x+4=0的解，
∴C（0，2）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C两点的坐标代入，
得

2k+b=0 b=2

，解得

k=-1 b=2

，
∴直线BC的解析式为y=-x+2；

（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：
如答图1，连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，
∵A（-2，0），C（0，2），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∵D为AC的中点，
∴OD平分∠AOC，OD=DC=

1

2

AC，
∴DM=DN=OM=ON=m．
在△PCD与△BOD中，

PC=BO=OC ∠PCD=∠BOD=135° DC=DO= 1 2 AC

，
∴△PCD≌△BOD （SAS），
∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，
∴∠BDP=∠ODC=90°，
即DP⊥DB；

（3）当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和不会发生改变．理由如下：
如答图2，在QA上截取QS=QP，连接PS．
∵∠PQA=60°，
∴△QSP是等边三角形，
∴PS=PQ，∠SPQ=60°，
∵PO是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，而PA=AB，
∴PA=PB=AB，
∴∠APB=∠ABP=60°，
∴∠APS=∠BPQ，
在△APS与△BPQ中，

PS=PQ ∠APS=∠BPQ PA=PB

，
∴△APS≌△BPQ（SAS），
∴∠PAS=∠PBQ，
∴∠APQ+∠ABQ=∠APQ+（∠ABP+∠PBQ）=60°+（∠APQ+∠PBQ）=60°+（∠APQ+∠PAS）=60°+120°=180°．

点评：此题是一次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质等知识，难度适中．根据已知作出辅助线从而证明三角形全等是解决问题的关键．