Question

19．阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，
（1）用“等角对等边”知识说明DE=BD+CE；
（2）如果AB+AC=18，那么△ADE的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和角平分线的性质得到∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，然后根据等角对等边于是得到DB=DF，CE=EF，即可得到结论；
（2）根据（1）的结论即可得到结果．

解答 证明：（1）∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB，
又∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴DF=DB，EF=EC，
∴DE=BD+CE；

（2）由（1）得：DF=DB，EF=EC，
∴AB+AC=AD+BD+AE+CE=AD+AE+DF+EF=△ADE的周长=18．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和平行线的性质是解题的关键．