Question

7．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x=2交AB于点D，交x轴于点E．
（1）求直线AB的解析式和D点坐标；
（2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值．
（3）如图，点P（2，-4）是直线x=2上一点，且在点D的下方，△ABP的面积是18．
（4）以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC，写出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3）、B（6，0）代入y=kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题，再根据点D的横坐标，求出D的纵坐标．
（2）存在．如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接DA′交OB于Q，此时QA+QD最小．利用两点间距离公式求出DA′即为最小值．
（3）根据S_△PAB=S_△PDA+S_△PDB计算即可．
（4）如图3中，分两种情形讨论即可．

解答 解：（1）把A（0，3）、B（6，0）代入y=kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
∵点D在直线AB上，横坐标为x=2，
∴y=2，
∴点D坐标（2，2）．

（2）存在．如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接DA′交OB于Q，此时QA+QD最小．

∵A（0，3），A′（0，-3），D（2，2），
∴QA+QD的最小值=QA+QD=QA′+QD=DA′=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$．

（3）如图2中，

S_△PAB=S_△PDA+S_△PDB=$\frac{1}{2}$•PD•6=$\frac{1}{2}$•6•6=18．
故答案为18．

（4）如图3中，

①当△ABC₁是等腰直角三角形时，作C₁M⊥x轴于M．
由△ABO≌△BC₁M，得BM=OA=3，C₁M=OB=6，
∴C₁（9，6）．
②当△BAC₂是等腰直角三角形时，同理可得等C₂（3，9）．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（9，6）或（3，9）．

点评 本题考查一次函数综合题、最小值问题、三角形面积、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最小值问题，属于中考压轴题．