Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且AD∥OC．
（1）求证：△ADB∽△OBC；
（2）若AB=2，BC=

5

，求AD的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）根据平行线性质求出∠A=∠COB，推出∠A=∠OBC=90°，即可推出△ADB∽△OBC；
（2）根据相似三角形的性质推出

AD

OB

=

AB

OC

，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠D=90°，∠CBO=90°，
即∠A=∠COB，∠D=∠CBO，
∴△ADB∽△OBC．
 
（2）解：OB=

1

2

AB=1，
在△OBC中，由勾股定理得：OC=

OB2+BC2

=

6

，
∵△ADB∽△OBC，
∴

AD

OB

=

AB

OC

，
∴

AD

1

=

2

6

解得：AD=

6

3

．
答：AD的长是

6

3

．

点评：本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点得出应用，关键是求出△ADB∽△OBC，此题是一道比较典型的题目．