Question

13．在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，∠ACB=45°，AD为△ABC的中线，BM⊥AD交AC于E，连接DE．求证：∠ADB=∠CDE．

Answer 1

分析 作FC⊥BC交BE延长线于F，首先根据全等三角形的判定证得△ABD≌△BCF，推出∠ADB=∠F．CF=BD，证得CF=CD，再证得△CEF≌△CED，推出∠F=∠EDC，由等量代换即可得到结论．

解答 证明：作FC⊥BC交BE延长线于F，
∵∠ABC=90°，
∴∠1=∠2=90-∠ABM，
∴∠FCE=∠ECD=45°，
在△ABD和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=AC}\\{∠ABC=∠BCF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCF，
∴∠ADB=∠F，CF=BD，
∵BD=CD，
∴CF=CD，
在△CEF和△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠FCE=∠ECD}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CED，
∴∠F=∠EDC，
∵∠F=∠ADB，
∴∠ADB=∠CDE．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线利用全等三角形证得∠ADB=∠F，CF=BD是解题的关键