Question

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，
（1）求证：四边形AEOF是菱形；
（2）AE与AF的数量关系是什么？

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据菱形的性质得出AB=AD，AC⊥BD，求出∠AOB=∠AOD=90°，根据直角三角形的性质得出OE=AE=BE=

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AB，OF=AF=FD=

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2

AD，推出AE=OE=OF=AF，根据菱形的判定得出即可；
（2）由（1）知：AE=

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2

AB，AF=

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2

AD，AB=AD，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠AOD=90°，
∵点E，F分别为边AB，AD的中点，
∴OE=AE=BE=

1

2

AB，OF=AF=FD=

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AD，
∴AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形；

（2）解：AE=AF，
理由是：∵AE=

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2

AB，AF=

1

2

AD，AB=AD，
∴AE=AF．

点评：本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直．