Question

如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：PE=PF；
（2）当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；
（3）若AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且

AP

BC

=

3

2

时，求∠A的大小．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质以及平行四边形的性质可证明PE=PC，PF=PC，从而得到PE=PF；
（2）假设四边形BCFE是菱形，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；
（3）由正方形的对角线相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC中，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠A的大小．

解答：（1）证明：∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；
（2）四边形BCFE不可能是菱形，
证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△BFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
（3）解：若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BAC=30°．

点评：此题综合考查了平行线的性质，等腰三角形的判定以及菱形的判定，正方形的性质，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值等知识点，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状．