如图.矩形OABC的顶点O.A.C都在坐标轴上.点B的坐标为(8.3).M是BC边的中点．(1)求出点M的坐标和△COM的周长,(2)若点P是矩形OABC的对称轴MN上的一点.使以O.M.C.P为顶点的四边形是平行四边形.求出符合条件的点P的坐标,(3)若P是OA边上一个动点.它以每秒1个单位长度的速度从A点出发.沿AO方向向点O匀速运动.设运动时间为t秒．是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，矩形OABC的顶点O，A，C都在坐标轴上，点B的坐标为（8，3），M是BC边的中点．
（1）求出点M的坐标和△COM的周长；
（2）若点P是矩形OABC的对称轴MN上的一点，使以O，M，C，P为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P的坐标；
（3）若P是OA边上一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AO方向向点O匀速运动，设运动时间为t秒．是否存在在某一时刻t，使以P，O，M为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据四边形OABC是矩形和M是BC边的中点，求出点M的坐标，根据勾股定理求出OM的长，得到△COM的周长；
（2）分以OC，OM为边的平行四边形COMP和以OM，CM为边的平行四边形CMOP两种情况讨论即可；
（3）分∠PMO=90°和∠MPO=90°两种情况，根据相似三角形的性质解答即可．

解答解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴CB∥OA．CB=OA，
∵B点坐标为（8，3），M为BC中点，
∴M点坐标为（4，3），
0C=AB=3，CM=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rr△OMC中，∠C=90°，
∴OM=5，
∴△OMC的周长=OM+CM+CO
=3+4+5=12，
∴点M的坐标为（4，3），△OMC的周长为12．
（2）如图①，分情况讨论：
①当四边形是以OC，OM为边的平行四边形COMP，
则MP∥OC，MP=OC=3，
此时P点坐标为（4，6），
②当四边形是以OC，CM为边的平行四边形COMP，
则P点事对称轴MN与x轴的交点，
此时P点坐标为（4，0）；
③当四边形是以OM，CM为边的平行四边形CMOP，
这时P点不在对称轴MN上，不符合条件；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（4，6），（4，0）．
（3）存在．如图②，由题意知∠MOP不可能等于90°，
分两种情况：
①当∠PMO=90°时，△OMP∽△MCO，
∴$\frac{OM}{MC}$=$\frac{OP}{MO}$，
∴OP=$\frac{O{M}^{2}}{MC}$=$\frac{25}{4}$，
∴AP=OA-OP=$\frac{7}{4}$，
②当∠MPO=90°时，△OMP∽△MOC，
∴$\frac{OM}{MO}$=$\frac{OP}{MC}$，
∴OP=MC=4，
∴AP=OA-OP=8-4=4，
综上所述，当t为4s或$\frac{7}{4}$s时，△OMP与△MOC相似．