Question

18．已知，如图，正方形ABCD，
（1）若点P为对角线AC上的一个动点，请证明PD=PB；
（2）若点P为边AB上的一个动点，以DP为边在AB同侧作正方形DPMN，
①试说明N点一定在BC的延长线上；
②若正方形的边长为2，当点P在AB边上由点A运动到点B时，点M随之运动，求点M的运动路径长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接PD，PB，根据正方形的性质得到AD=AB，∠DAC=∠BAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CD，PD=DN，∠ADC=∠PDN=90°，根据角的和差得到∠ADP=∠CDN，根据全等三角形的性质得到∠DCN=∠A=90°，于是得到结论；
（3）如图2，连接BM，过M作MH⊥BC于H，根据余角的性质得到∠DNC=∠NMH，根据全等三角形的性质得到CD=NH，CN=HM，等量代换得到HM=BH，根据等腰直角三角形的性质得到∠MBH=45°，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接PD，PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，
在△DAP与△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAP=∠BAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△BAP，
∴PD=PB；

（2）∵四边形ABCD和四边形DPMN是正方形，
∴AD=CD，PD=DN，∠ADC=∠PDN=90°，
∴∠ADP=∠CDN，
在△ADP与△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDN}\\{PD=DN}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDN，
∴∠DCN=∠A=90°，
∴∠BCN=∠BCD+∠DCN=180°，
∴N点一定在BC的延长线上；

（3）如图2，连接BM，过M作MH⊥BC于H，
∴∠DNC+∠MNH=∠MNH+∠NMH=90°，
∴∠DNC=∠NMH，
在△CDN与△HNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠HNM}\\{∠DCN=∠NHM}\\{CD=HN}\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△NHM，
∴CD=NH，CN=HM，
∴BC=HN，
∴CN=BH，
∴HM=BH，
∴∠MBH=45°，
∴点M的运动路径长=BD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．