Question

19．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y=ax²-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把x=3代入y=x+1，即可得到结论；
（2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），由于抛物线y=ax²-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{4a-1≥1}\\{{3}^{2}a-4×3a+4a-1＜4}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{4a-1＜1}\\{{3}^{2}a-4×3a+4a-1≥4}\end{array}\right.$②于是得到结论．

解答 解：（1）把x=3代入y=x+1，y=3+1=4，∴点B的坐标为B（3，4）；
（2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），
∵y=ax²-4ax+4a-1=a（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），
∵点A（0，1），点B（3，4），
∵当抛物线y=ax²-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-1≥1}\\{{3}^{2}a-4×3a+4a-1＜4}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{4a-1＜1}\\{{3}^{2}a-4×3a+4a-1≥4}\end{array}\right.$②
解①得$\frac{1}{2}$≤a＜5，②无解，
综上所述，当$\frac{1}{2}$≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．