Question

20．如图1，在?ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AB=6，AF=3EF，求DG的长．
小米的发现，过点E作EH∥AB交BG于点H（如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG=2．
如图3，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是射线DM上的一点，连接BE和AC相交于点F，若BC=aAD，CD=bCE，求$\frac{BF}{EF}$的值（用含a，b的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）过点E作EH∥AB交BG于点H，可得△AFB∽EFH，由$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$，可得EF=2，由HE为△BCG的中位线，可得CG的值，由DG=CD-CG即可得出答案，
（2）过E作EG∥AD，延长CA交于点G，可得△CAD∽△CGE．可得$\frac{AD}{GE}$=$\frac{CD}{CE}$，进而得出AD=bEG，再由△GEF∽△CBF．可得$\frac{BC}{EG}$=$\frac{BF}{EF}$，即BC=aAD，进而得出BC=abEG，即可得出$\frac{BF}{EF}$的值．

解答 解：（1）如图2，过点E作EH∥AB交BG于点H，

∵EH∥AB，
∴△AFB∽EFH，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$，
∵AF=3EF，
∴AB=3EH，
∵AB=6，
∴EF=2，
∵在?ABCD中，点E是BC边上的中点，
∴CG=2EF=4，
∴DG=6-4=2，
故答案为：2．
（2）如图3，过E作EG∥AD，延长CA交于点G，

∴△CAD∽△CGE．
∴$\frac{AD}{GE}$=$\frac{CD}{CE}$．
∵CD=bCE，
∴$\frac{AD}{GE}$=b．
∴AD=bEG，
∵AD∥BC，
∴BC∥EG．
∴△GEF∽△CBF．
∴$\frac{BC}{EG}$=$\frac{BF}{EF}$．
∵BC=aAD，
∴BC=abEG．
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{BC}{EG}$=ab．

点评 本题主要考查了相似综合题，涉及相似三角形的判定与性质，三角形中位线等知识，解题的关键是正确的画出辅助线，灵活运用三角形相似的性质．