Question

9．在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H
（1）试说明DG=DC．
（2）判断FH与FC的数量关系并加以说明．

Answer 1

分析 （1）求出∠A=∠AGD=45°，根据等腰三角形的判定得出AD=DG，根据AD=DC求出即可；
（2）求出FG=EC，∠FEC=∠FGH，∠GFH=∠FCD，根据ASA推出△FGH≌△FEC，根据全等三角形的性质得出即可．

解答 解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵DG⊥AC，
∴∠ADG=90°，
∴∠A=∠AGD=45°，
∴AD=DG，
∵AD=DC，
∴DG=DC；

（2）FH=FC
理由如下：
∵DG=DC，DE=DF，
∴FG=EC，
∵DG⊥AC，
∴∠EDF=90°，
∵DF=DE，
∴∠FED=∠CFD═45°，
∴∠FEC=135°，
同理可求∠FGH=135°，
∴∠FEC=∠FGH，
∵FH⊥FC，
∴∠HFC=90°，
∴∠GFH+∠DFC=90°，
∵∠ADG=90°，
∴∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠GFH=∠FCD，
在△GFH和△FEC中
$\left\{{\begin{array}{l}{∠HGF=∠FEC}\\{GF=EC}\\{∠GFH=∠FCE}\end{array}}\right.$
∴△FGH≌△FEC（ASA），
∴FH=FC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．