题目内容
如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），∠OBA=90°，∠AOB=30°，点C为OB中点．点D从O点出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周，设点D的运动时间为t秒．（1）点C的坐标为
（2）设O、C、D三点构成的图形的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式；
（3）点E在线段AB上以1个单位长度/秒的速度由点A向点B运动，如图（2）．若点E与点D同时出发，在运动4秒钟内，t为何值时，以点D、A、E为顶点的三角形与△OAB相似？
分析：（1）过C点作CM⊥OA，求出CM，OM的长，即可求出C的坐标，确定出当BD=4时，D所在的位置即可求出t的值．
（2）本题分点D在OA上，AB上DB上三种情况讨论，分别求出S与t的关系即可．
（3）本题需分DE∥OB和DE⊥OA两种情况讨论，根据三角形相似列出比例式，即可求出t的值．
（2）本题分点D在OA上，AB上DB上三种情况讨论，分别求出S与t的关系即可．
（3）本题需分DE∥OB和DE⊥OA两种情况讨论，根据三角形相似列出比例式，即可求出t的值．
解答：
解：（1）过点C作CM⊥OA，垂足为点M
∵∠AOB=30°，∠OBA=90°
∴cos=30°=
∴
=
∴OB=4
，
∵点C为OB中点，
∴OC=2
，
∴CM=
OC=
，
OM=3，
∴点C的坐标为（3，
），
当点D在OA的中点上时，BD=4，t=2；
当点D与点A重合时，BD=4，t=4；
当点D在BO上，且BD=4时，t=8；
（2）当点D在OA上运动时，
S△OCD=
OD•CM=
×2t×
=
t，
当点D在AB上运动时，
∴S△OCD=S△AOB-S△BCD-S△AOD，
=
×4×4
-
×2
×（12-2t）-
×8×
（t-4），
=12
-2
t，
所以点D在OB边上运动时，S△OCD=0．
（3）过点E作FE∥OB，则△AFE∽△AOB，
=
，
=
，
t=2，
当ED⊥OA时，△ADE∽△ABO，
则
=
，
=
，
t=
．
解：（1）过点C作CM⊥OA，垂足为点M∵∠AOB=30°，∠OBA=90°
∴cos=30°=
| OB |
| OA |
∴
| ||
| 2 |
| OB |
| 8 |
∴OB=4
| 3 |
∵点C为OB中点，
∴OC=2
| 3 |
∴CM=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
OM=3，
∴点C的坐标为（3，
| 3 |
当点D在OA的中点上时，BD=4，t=2；
当点D与点A重合时，BD=4，t=4；
当点D在BO上，且BD=4时，t=8；
（2）当点D在OA上运动时，
S△OCD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
当点D在AB上运动时，
∴S△OCD=S△AOB-S△BCD-S△AOD，
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
=12
| 3 |
| 3 |
所以点D在OB边上运动时，S△OCD=0．
（3）过点E作FE∥OB，则△AFE∽△AOB，
| AF |
| AO |
| AE |
| AB |
| 8-2t |
| 8 |
| t |
| 4 |
t=2，
当ED⊥OA时，△ADE∽△ABO，
则
| AD |
| AB |
| AE |
| AO |
| 8-2t |
| 4 |
| t |
| 8 |
t=
| 16 |
| 5 |
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要根据已知条件分情况进行讨论，不要漏掉这是解题的关键．
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