Question

(2006，枣庄)半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC∶CA=4∶3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O．

(1)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；

(2)当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；

(3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴AB=5，BC∶CA=4∶3， ∴BC=4，BC=3． 又∵AC·BC=AB·CD ∴，． 在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB=∠PCQ=90°， ∠CAB=∠CPQ， Rt△ACB∽Rt△PCQ∴，． (2)当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E(如图)． ∵P是弧AB的中点， ∴∠PCB=45°， 又∠CPB=∠CAB ∴ ∴，从而 由(1)得． (3)点P在弧AB上运动时，恒有． 故PC最大时，CQ取到最大值． 当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为．