阅读下列材料.并解决后面的问题．材料:我们知道.n个相同的因数a相乘$\underset{\underbrace{a•a-a}}{n个}$记为an.如23=8.此时.3叫做以2为底8的对数.记为log28(即log28=3)．一般地.若an=b.则n叫做以a为底b的对数.记为logab(即logab=n).如34=81.则4叫做以3为底81的对数.记� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：我们知道，n个相同的因数a相乘$\underset{\underbrace{a•a…a}}{n个}$记为aⁿ，如2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3）．　　
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n），如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．
（1）计算以下各对数的值：log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6．
（2）通过观察（2）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）题猜想，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log_aM+log_aN=log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），
（4）根据幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m+n以及对数的定义证明（3）中的结论．

分析（1）根据题意可以得到题目中所求式子的值；
（2）根据题目中的式子可以求得它们之间的关系；
（3）根据题意可以猜想出相应的结论；
（4）根据同底数幂的乘法和对数的性质可以解答本题．

解答解：（1）log₂4=log₂2²=2，log₂16=log₂2⁴=4，log₂64=log₂2⁶=6，
故答案为：2，4，6；
（2）由题意可得，
4×16=64，log₂4、log₂16、log₂64之间满足的关系式是log₂4+log₂16=log₂64；
（3）猜想的结论是：log_aM+log_aN=log_aMN，
故答案为：log_aMN；
（4）证明：设log_aM=m，log_aN=n，
∴M=a^m，N=aⁿ，
∴MN=a^m+n，
∴log_aM+log_aN=log_aMN．