Question

9．正方形ABCD中，BD为正方形对角线，E点是AB边中点，连结DE，过C点作CG⊥DE交DE于G点，交BD于H点，过B点作BF⊥DE交DE延长线于F点，连结AF．若AF=2，则△BHG的面积为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 连接AG，设AD=2a，则AE=BE=a，根据勾股定理得到DE=$\sqrt{5}$a，根据相似三角形的性质得到EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，DF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，DG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，得到BF=DG，根据全等三角形的性质得到AG=AF=2，∠DAG=∠BAF，得到△AFG是等腰直角三角形，于是得到FG=2$\sqrt{2}$，根据相似三角形的性质得到GH=$\frac{4}{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，E点是AB边中点，
设AD=2a，则AE=BE=a，
∴DE=$\sqrt{5}$a，
∵BF⊥DE，
∴∠DAE=∠BFE=90°，
∵∠AED=∠FEB，
∴△AED∽△FEB，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{EF}=\frac{AD}{BF}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴DF=EF+DE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$a，
∵∠AED+∠CDG=∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠ADE=∠DCG，
∵∠DAE=∠CGD=90°，
∴△ADE∽△GCD，
∴$\frac{DG}{AE}=\frac{CD}{DE}$，
∴DG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴BF=DG，
在△ADG与△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADG=∠ABF}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌ABF（SAS），
∴AG=AF=2，∠DAG=∠BAF，
∴∠FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴FG=2$\sqrt{2}$，
∴DF-DG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$a-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∵BF⊥DF，CG⊥DF，
∴△DGH∽△DFB，
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{GH}{BF}$，解得：GH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴△BHG的面积=$\frac{1}{2}$GH•FG=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．