Question

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，DE⊥CD，DE⊥AB于E，sinA=$\frac{4}{5}$，DE=2BE．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，点F在AB的延长线上，点G在AD上，连接DF、CG，交于H，若CG=DF，求∠DHG的正切值．

Answer 1

分析 （1）先证明殊不知ABCD是平行四边形，再证明AD=AB即可解决问题．
（2）如图2中，作GM⊥BC于M，DF交BC于O．先证明△GMC≌△DEF，推出∠DHG=∠CHO=∠A，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵DE⊥CD，DE⊥AB于E，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△ADE中，设AD=5k，
∵sinA=$\frac{4}{5}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴DE=4k，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3k，
∵DE=2EB，
∴EB=2k，
∴AB=AE+EB=5k=AD，
∴四边形ABCD是菱形．，

（2）解：如图2中，作GM⊥BC于M，DF交BC于O．

∵四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，GM⊥BC，
∴DE=GM，
在Rt△GMC和Rt△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=DF}\\{GM=DE}\end{array}\right.$，
∴△GMC≌△DEF，
∴∠GCB=∠DFE，
∵∠HOC=∠BOF，
∴∠CHO=∠OBF，
∵∠DHG=∠CHO，
∴∠DHG=∠OBF，
∵BC∥AD，
∴∠OBF=∠A，
∴∠DHG=∠A，
∴tan∠DHG=tam∠A=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理的等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．