题目内容

已知A为抛物线 $数学公式$ 的顶点，B为该抛物线与y轴的交点，C为x轴上一点．设线段BC、AC、AB的长度分别为a、b、c，当a+c=2b时，求：
（1）经过B、C两点的直线的解析式；
（2）三角形ABC的面积．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x-1）²，
∴A点坐标为：（1，0），
∵B为该抛物线与y轴的交点，
∴x=0时，y= $\text{[math]}$ ，即B点坐标为：（0， $\text{[math]}$ ），
当C点在A点右侧，设C点坐标为：（x，0），
则AC=x-1，AB= $\text{[math]}$ =2，BC= $\text{[math]}$ ，
∵a+c=2b，
∴2（x-1）=2+ $\text{[math]}$ ，
整理得出：3x²-16x+13=0，
解得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=1（此时A，C重合不合题意舍去），
如图所示：
当C′点在A点左侧，设C′点坐标为：（z，0），
则AC′=1-z，AB= $\text{[math]}$ =2，BC′= $\text{[math]}$ ，
∵a+c=2b，
∴2（1-z）=2+ $\text{[math]}$ ，
整理得出：3z²=3，
解得：x₁=-1，x₂=1（此时A，C重合不合题意舍去），
∴C点坐标为：（-1，0）或（ $\text{[math]}$ ，0），
∴当B点坐标为：（0， $\text{[math]}$ ），
C点坐标为：（-1，0），
带入解析式y=kx+b，
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴经过B、C两点的直线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴当B点坐标为：（0， $\text{[math]}$ ），
C点坐标为：（ $\text{[math]}$ ，0），
带入解析式y=ax+c，
$\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$ ，
∴经过B、C两点的直线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）∵当B点坐标为：（0， $\text{[math]}$ ），C点坐标为：（-1，0）时，
∴AC′=2，∴S_△ABC= $\text{[math]}$ BO×AC′= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当B点坐标为：（0， $\text{[math]}$ ），C点坐标为：（ $\text{[math]}$ ，0）时，
∴AC= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ BO×AC= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先求出二次函数的顶点坐标以及图象与y轴交点坐标，进而假设出C点位置，利用C点可能在A点右侧或左侧分别求出C点坐标即可；
（2）根据（1）中所求得出三角形ABC的面积即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形面积求法等知识，根据分类讨论的思想得出C点坐标是解题关键．