Question

8．已知，∠ABC=48°，P是∠ABC内一定点，D、E分别是射线BA、BC上的点，当△PDE的周长最小时，∠DPE的度数是84°．

Answer 1

分析 如图作点P关于直线AB的对称点F，作点P关于直线BC的对称点G，连接FG交AB于D，交BC于E，则△PDE的周长最小．想办法求出∠PDE+∠PED即可．

解答 解：如图作点P关于直线AB的对称点F，作点P关于直线BC的对称点G，连接FG交AB于D，交BC于E，则△PDE的周长最小．

设∠ABP=∠ABF=x，∠CBP=∠CBG=y，则x+y=48°，
∵BP=BF，
∴∠BPF=∠BFP=$\frac{1}{2}$（180°-2x）=90°-x．同法可得∠BPG=90°-y，
∴∠FPG=180°-x-y=132°，
∴∠BFP+∠BGP=132°，
∵∠BFG+∠BGF=180°-96°=84°，
∴∠PFG+∠PGF=132°-84°=48°，
∵DF=DP，EP=EG，
∴∠DFP=∠DPF，∠EGP=∠EPG，
∴∠EDP=2∠DFP，∠DEP=2∠EGP，
∴∠PDE+∠PED=96°，
∴∠DPE=180°-96°=84°，
故答案为84°．

点评 本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．