Question

如图，ABCD是直角梯形，以斜腰AB为直径作圆，交CD于点E，F，交BC于点G．
求证：（1）DE=CF；（2）

AE

=

FG

．

Answer 1

分析：（1）过O作OH⊥EF，H为垂足，由垂径定理得到EH=FH，同时可得OH为直角梯形ABCD的中位线，则HD=HC，即可得到DE=CF；
（2）连AG，由AB为直径，得到∠AGB=90°，即有AG∥DC，根据平行弦所夹得弧相等，即可得到

AE

=

FG

．

解答：解：（1）过O作OH⊥EF，H为垂足，如图，
则EH=FH，OH∥AD∥BC，
而OA=OB，
∴OH为直角梯形ABCD的中位线，
∴HD=HC，
∴DE=CF；

（2）连AG，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
∴AG∥DC，
∴

AE

=

FG

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理、梯形的中位线性质和圆的平行弦所夹的弧相等．