Question

9．如图，?ABCD中，AE⊥BE于E，CF⊥AD于F，M、N分别为AB、CD的中点．求证：四边形MENF是平行四边形．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠MAF=∠NCE，由直角三角形斜边上的中线性质得出ME=NF=AM=CN，证出四边形AECF是平行四边形，得出AF=CE，由SAS证明△AMF≌△CNE，得出对应边相等MF=NE，即可得出四边形MENF是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠MAF=∠NCE，
∵AE⊥BE于E，CF⊥AD于F，
∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴ME=$\frac{1}{2}$AB=AM，NF=$\frac{1}{2}$CD=CN，
∴ME=NF=AM=CN，
∵AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
在△AMF和△CNE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}&{\;}\\{∠MAF=∠NCE}&{\;}\\{AM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△CNE（SAS），
∴MF=NE，
∴四边形MENF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；证明三角形全等得出MF=NE是解决问题的关键．