Question

6．如图，梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC，BD相交于点O；4个小三角形的面积是S₁、S₂、S₃、S₄．
（1）已知S₁=4，S₂=9，则S₃=6，S₄=6；
（2）已知：DO：BO=2：5，S₃=24，则S₂=60，S₁=$\frac{48}{5}$；
（3）已知AD：BC=2：5，则S₁：S₃：S₂：S₄：S_ABCD=4：10：25：10：49；
（4）已知AD=5，BC=12，S₁=100，则S₃=240，S₄=240；
（5）已知：S_ABCD=240，AD：BC=1：3，则S₁=15，S₃=45．

Answer 1

分析 （1）证明△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{DO}{BO}$）²=$\frac{4}{9}$，则$\frac{DO}{BO}$=$\frac{2}{3}$，则等高的三角形面积的比等于底边的比得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{2}{3}$，则可计算出S₃=6，易得S₃=S₄=6；
（2）利用$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{2}{5}$可计算出S₁=$\frac{48}{5}$，然后由$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{DO}{BO}$）²可计算出S₂=60；
（3）根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=$\frac{4}{25}$，利用相似比得$\frac{DO}{BO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{2}{5}$，于是$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{4}{10}$，加上S₃=S₄，则可计算出S₁：S₃：S₂：S₄：S_ABCD的值；
（4）利用相似比得到$\frac{DO}{BO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{5}{12}$，由于$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{5}{12}$，于是可计算出S₃=240；则S₄=S₃=240；
（5）利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，即S₂=9S₁，利用相似比得到$\frac{DO}{BO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{1}{3}$，即S₃=3S₁，然后利用面积的和为240列方程S₁+3S₁+3S₁+9S₁=240，解得S₁=15，于是S₃=45．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{DO}{BO}$）²=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{DO}{BO}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{2}{3}$，
∴S₃=$\frac{3}{2}$×4=6，
∵△ABD的面积=△ACD的面积，
∴S₃=S₄=6；
（2）∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{2}{5}$，
∴S₁=$\frac{2}{5}$×24=$\frac{48}{5}$，
由（1）得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{DO}{BO}$）²=$\frac{4}{25}$，
∴S₂=$\frac{25}{4}$×$\frac{48}{5}$=60；
（3）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=$\frac{4}{25}$，
∵$\frac{DO}{BO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{2}{5}$
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{10}$，
而S₃=S₄，
∴S₁：S₃：S₂：S₄：S_ABCD=4：10：25：10：49；
（4）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{DO}{BO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{5}{12}$，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{5}{12}$，
∴S₃=$\frac{12}{5}$×100=240；
∴S₄=S₃=240；
（5）∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴S₂=9S₁，
∵$\frac{DO}{BO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{DO}{BO}$=$\frac{1}{3}$，
即S₃=3S₁，
而S₄=S₃，
∴S₁+3S₁+3S₁+9S₁=240，解得S₁=15，
∴S₃=45．
故答案为6，6；60，$\frac{48}{5}$；4：10：25：10：49；240，240；15，45．

点评 本题考查了面积及等积变换：熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质；灵活运用三角形的面积公式，等底等高的三角形面积相等，等高的三角形面积的比等于底边的比．