Question

如果定义

n

k=1

ak=a1•a2…an，那么

n

k=2

(1-

1

k2

)=

n+1

2n

．

Answer 1

分析：根据新定义得到

n

k=2

(1-

1

k2

)=（1-

1

22

）×（1-

1

32

）×（1-

1

42

）×…×（1-

1

(n-2)2

）×（1-

1

(n-1)2

）×（1-

1

n2

），再分别把括号内进行变形得到

(2-1)(2+1)

2×2

×

(3-1)(3+1)

3×3

×

(4-1)(4+1)

4×4

×…×

(n-3)(n-1)

(n-2)(n-2)

×

(n-2)n

(n-1)(n-1)

×

(n-1)(n+1)

n•n

，然后依次约分即可．

解答：解：

n

k=2

(1-

1

k2

)=（1-

1

22

）×（1-

1

32

）×（1-

1

42

）×…×（1-

1

(n-2)2

）×（1-

1

(n-1)2

）×（1-

1

n2

）
=

(2-1)(2+1)

2×2

×

(3-1)(3+1)

3×3

×

(4-1)(4+1)

4×4

×…×

(n-3)(n-1)

(n-2)(n-2)

×

(n-2)n

(n-1)(n-1)

×

(n-1)(n+1)

n•n

=

1

2

×

n+1

n

=

n+1

2n

．

点评：本题考查了分式的混合运算：先进行分式的乘除运算（即把分式的分子或分母因式分解，然后约分），再进行分式的加减运算（异分母通过通分化为同分母）；有括号先算括号．也考查了规律型问题的解决方法．