Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN•MC=8，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接MA、MB．（如图）
∵点M是弧AB的中点，
∴，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA．
∴．
∴AM²=MC•MN．
∵MC•MN=8，
∴．
∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，
∴∠AMB=90°，AM=BM=．
∴．
分析：（1）利用半径OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BAM，进而可得△AMC∽△NMA，故AM²=MC•MN；等量代换可得MN•MC=BM²=AM²，进而利用勾股定理求出⊙O的直径．
点评：此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，是一道综合性的题目，难度中等偏上．