Question

17．如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4$\sqrt{3}$且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=$\sqrt{3}$EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4$\sqrt{3}$，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．

解答 解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．
∵∠GFE+∠DFE=180°-∠AFG=120°，
∴∠GFE=60°．
∵AF∥GE，∠AFG=60°，
∴∠FGE=∠AFG=60°，
∴△GEF为等边三角形，
∴EF=GE．
∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，
∴∠HGE=30°．
在Rt△GHE中，∠HGE=30°，
∴GE=2HE=2CE，
∴GH=$\sqrt{G{E}^{2}-H{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$HE=$\sqrt{3}$CE．
∵GE=2BG，
∴BC=BG+GE+EC=4EC．
∵矩形ABCD的面积为4$\sqrt{3}$，
∴4EC•$\sqrt{3}$EC=4$\sqrt{3}$，
∴EC=1，EF=GE=2．
故选C．

点评 本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含30度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出BC=4EC、DC=$\sqrt{3}$EC是解题的关键．