Question

4．在矩形ABCD中，AB=1cm，BC=2cm，E、H为射线AD上两个动点，且EH=AD，线段EH以1cm/s的速度从点A出发向右移动；F、G为射线BC上两个动点，且FG=BC，线段FG以2cm/s的速度从点B出发向右移动．
（1）当EF和CD交于CD的中点M时，求证：△EDM≌△FCM．
（2）填空：
①当t=$\sqrt{3}$时，四边形EFGH为菱形．
②当t=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$时，E、C、F、H构成的四边形的面积为$\frac{3}{2}$cm²．

Answer 1

分析 （1）先用矩形的性质得出∠ADC=∠DCF=90°，∠DEF=∠CFE，进而判断出△DME≌△CMF；
（2）①先判断出四边形EFGH为平行四边形，进而得出EF=2，构造直角三角形，求出FG=$\sqrt{3}$，即可得出时间；
②分点F在线段BC上和BC的延长线上，用梯形的面积建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DCF=90°，AD∥BC，
∴∠DEF=∠CFE，
∵EF和CD交于CD的中点M，
∴DM=CM，
在△DME和△CMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠DCF=90°}\\{∠DEF=∠CFE}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△CMF，
（2）①如图，过点E作EM⊥BC，
∴AE=BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD=EM=AB=1，AD=BC=2，
∴EH=AD=2，FM=BC=2，
∴EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH为菱形，
∴EF=EH=2，
在Rt△EFM中，EM=1，EF=2，
∴FM=$\sqrt{3}$，
由运动知，AE=t，BF=2t，
∴MF=BF-BM=2t-t=t=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$；
②由运动知，由运动知，AE=t，BF=2t，
Ⅰ、当点F在线段BC上时，CF=CM-MF=BC-BM-MF=BC-AE-MF=BC-AE-（BF-AE）=BC-BF=2-2t，
∵EH=2，EM=1，
∴E、C、F、H构成的四边形的面积=$\frac{1}{2}$（EH+CF）×EM=$\frac{1}{2}$（2+2-2t）×1=2-t，
∵E、C、F、H构成的四边形的面积为$\frac{3}{2}$cm²．
∴2-t=$\frac{3}{2}$，∴t=$\frac{1}{2}$，
Ⅱ、当点F在BC延长线上时，CF=BF-BC=2t-2，
∵EH=2，EM=1，
∴E、C、F、H构成的四边形的面积=$\frac{1}{2}$（EH+CF）×EM=$\frac{1}{2}$（2+2t-2）×1=t，
∵E、C、F、H构成的四边形的面积为$\frac{3}{2}$cm²．
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，
即：E、C、F、H构成的四边形的面积为$\frac{3}{2}$cm²时，时间为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$，
故答案为：=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，梯形的面积公式，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键理清题意，建立方程，方程思想解决问题是运动问题常用的方法，是一道中等难度的中考常考题．