Question

6．阅读理解：
对于二次三项式x²+2ax+a²，能直接用公式法进行因式分解，得到x²+2ax+a²=（x+a）²，但对于二次三项式x²+2ax-8a²，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式x²+2ax-8a²中先加上一项a²，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变，于是：
x²+2ax-8a²
=x²+2ax-8a²+a²-a²
=x²+2ax+a²-8a²-a²
=（x²+2ax+a²）-（8a²+a²）
=（x+a）²-9a²
=（x+a+3a）（x+a-3a）
=（x+4a）（x-2a）
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
问题解决：
请用上述方法将二次三项式 x²+2ax-3a² 分解因式．
拓展应用：
二次三项式x²-4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将式子x²+2ax-3a²，添项a²，再减去a²，重新分组后，利用平方差公式分解因式；
（2）将式子x²-4x+5配方，可以将5拆成4+1，得（x-2）²+1，根据完全平方的非负性得最小值．

解答 解：（1）x²+2ax-3a²，
=x²+2ax-3a²+a²-a²，
=x²+2ax+a²-3a²-a²，
=（x+a）²-4a²，
=（x+a）²-（2a）²，
=（x+a+2a）（x+a-2a），
=（x+3a）（x-a）；
（2）有最小值，
x²-4x+5=x²-4x+4+1=（x-2）²+1，
∵（x-2）²≥0，
∴（x-2）²+1≥1，
∴最小值为1．

点评 本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．