题目内容
1．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x-m）2+$\frac{1}{4}$m2-m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，则点B的坐标为（0，-2）；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以：A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？
分析 （1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=$\frac{1}{4}$m2-m，将m=$\frac{x}{2}$代入y=-$\frac{1}{4}$m2-m-4，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
解答 解：（1）点B的坐标为（0，-2）．
（2）延长EA，交y轴于点F
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，$\frac{1}{4}$m2-m），点B（0，-m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（$\frac{1}{4}$m2-m）=$\frac{1}{4}$m2
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴AE=DE，即：$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}}{|m|}$=$\frac{|m|}{DE}$，
∴DE=4．
（3）①∵点A的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m2-m），
∴yD=yA-BF=$\frac{1}{4}$m2-m-4
∴点D的坐标为（2m，$\frac{1}{4}$m2-m-4），
∴x=2m，y=$\frac{1}{4}$m2-m-4
∴y=$\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}$）2-$\frac{x}{2}$-4=$\frac{1}{16}$x2-$\frac{1}{2}$x-4，
∴所求函数的解析式为：y=$\frac{1}{16}$x2-$\frac{1}{2}$x-4．
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图（1））
，
xP=3m，yP=yD+BF=$\frac{1}{4}$m2-m-4+$\frac{1}{4}$m2=$\frac{1}{2}$m2-m-4，
把P（3m，$\frac{1}{2}$m2-m-4）的坐标代入y=$\frac{1}{16}$x2-$\frac{1}{2}$x-4得：
2m2-m-4=$\frac{1}{16}$×（3m）2-$\frac{1}{2}$×（3m）-4
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8，
（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图（2））
xP=m，yP=yD-BF=$\frac{1}{4}$m2-m-4-$\frac{1}{4}$m2=-m-，4
把P（m，-m-4）的坐标代入y=$\frac{1}{16}$x2-$\frac{1}{2}$x-4得：
-m-4=$\frac{1}{16}$×（m）2-$\frac{1}{2}$×（m）-4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8．
综上所述：m的值8或-8．
点评 此题考查二次函数的综合题，平行四边形的判定，探讨存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论思想的渗透．
已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（ ）| A． | 3cm | B． | 4cm | C． | 5cm | D． | 6cm |
如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（ ）
设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．| A． | 若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补 | |
| B． | 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段 | |
| C． | $\sqrt{81}$的算术平方根是9 | |
| D． | 同一平面内，若直线a∥b，a⊥c，则b⊥c |